二次公式的历史:从巴比伦到数学课

摘自《更多艺术:数学如何创造迈克尔·布鲁克斯的文明》。版权所有©2022撰写的迈克尔·布鲁克斯(Michael Brooks)。摘自企鹅随机房屋的一部分万神殿书籍的许可

摘自《更多艺术:数学如何创造迈克尔·布鲁克斯的文明》。版权所有©2022撰写的迈克尔·布鲁克斯(Michael Brooks)。摘自企鹅兰登书屋有限责任公司Pantheon Books的许可。版权所有。未经出版商的书面许可,本摘录的任何部分都不得复制或重印。

求解二次方程式

代数是什么?您可能会想到这一点 – 鉴于传统上如何教授它是一个可怕的方程式迷宫,X,Y,Y,Z,A,B和C的字母汤,以及一些上标(2和3,也许是2和3)甚至4)。对于初学者来说,这肯定是令人反感的。但是没有理由代数应该有问题。实际上,这只是使用我们知道的知识来取笑隐藏信息的艺术。

代数的名字来自穆罕默德·阿尔·卡里兹米(Muhammad al-Khwārizmī)的9世纪书的标题al-jabr一词(我们在第1章中遇到了它,作为关于完成和平衡计算的汇编书)。这将埃及人,巴比伦,希腊语,中国和印度关于寻找未知数的想法汇集在一起​​。 al-khwārizmī提供了我们的处方 – 我们称为算法的公式 – 用于求解基本代数方程,例如ax2 + bx = c,以及用于求解14种不同类型的“立方”方程的几何方法(其中x升至3)的功率3) 。

顺便说一句,在历史上,没有X,也没有任何实际力量提出的东西,也没有任何方程式在AlKhwārizmī所写的方面。代数最初是“修辞”,使用曲折的单词缠结来解决问题并解释解决方案。受欢迎的隐藏因素通常被称为cossa或“东西”,因此代数通常被称为“ cossick Art”:事物的艺术。科西克艺术的早期学生可能会与这样的事情面对面:两个男人沿着道路领先牛,另一个人对另一只牛说:“给我两只牛,我会拥有尽可能多的你。”然后另一个说:“现在你给我两只牛,我的数字是你的两倍。”那里有多少牛,每个牛有多少牛?

或者

我有一块60英尺长的亚麻布,宽40英尺。我希望将其切成较小的部分,每个部分的长度为6英尺,宽度为4英尺,因此每件件都足够大,可以制作上衣。一块亚麻布可以制作多少个束腰外衣?

这些例子由约克的Alcuin收集在公元800年左右,并在一个名为“问题”的难题中发表,以增强年轻人。他们与我们在学校的数学课程中所面临的问题没有什么不同。但是,我们有能够将它们变成方程式的优势。在我们更深入地进入代数之前,值得暂停,以欣赏这使我们有多荣幸。

直到16世纪,任何人都想将代数从言语中移开。这个想法出现在法国公务员弗朗索瓦·维特(FrançoisViète)。在担任律师的训练之后,维特(Viète)在法国皇家法院(French Royal Court)的服务中度过了大部分职业生涯,并以任何要求的方式提供帮助。他是布列塔尼的一名行政人员,亨利三世的皇家私人顾问,也是亨利四世的代码破解者。当西班牙国王指责法国法院巫术时,维特最骄傲的时刻可能到了。他向教皇抱怨,法国还能预见西班牙的军事计划吗?但是当然没有巫术。维特(Viète)比西班牙的编号制造商更聪明,当法国士兵拦截他们时,能够解释他们的交流。也许是这种精神上的敏捷性,使维特(Viète)看到,如果将修辞学代数编码为符号,则将更容易。在他的代数中,他使用辅音来指定参数,并为未知物品进行元音。他会写类似的东西:

一个库斯 + b Quad。在A,Équeturb Quad。在z

我们现在写的地方

A3 + B2A = B2Z

如果我们说实话,那仍然不是朴素的航行,但这是一个开始。有趣的是,Plus的标志在这里(他在其他地方使用了负标志),但平均标志不是。威尔士数学家罗伯特·唱片公司(Robert Recorde)在1557年介绍了我们的平等标志,他在他的名字命名的书《威特的磨刀石》(The Witte of Witte)中,这是arithmetike的第二部分:contayyng rootes的Xtraction:cossike练习,具有方程式:和Surde of Surde of Surde of Surde。诺伯斯。

尽管我们遵循符号的主题,但值得注意的是,字母“ x”与未知事物相关联的原因仍然引起了人们的争议。根据文化历史学家特里·摩尔(Terry Moore)的说法,这是因为al-khwārizmī的原始代数使用al-shay-un表示“不确定的事物”。当中世纪的西班牙翻译人员正在寻找同等的拉丁语时,他们使用了他们必须“ sh”的最接近的东西,而西班牙语实际上并不存在。因此,我们最终得到了使西班牙语“ CH”声音的字母:X。但是其他消息来源说,这取决于雷内·笛卡尔(RenéDescartes),他们只是将字母的两个极端列入他的1637年LaGéométrie中。他将已知参数推广到A,B和C;未知数被指定为x,y和z。如果您对代数的想法感到恐惧,那么它的所有神秘符号,您可能会从将其视为将几何形状转化为书面形式的一种方式中受益。

在构造这本书时,我对代数和几何形状进行了人为的区别。尽管我们通常将它们视为独特的主题(主要是因为它使设计学校课程变得更容易),代数从几何形状无缝流动。这是没有图片的几何形状,这一举动可以解放出来并允许数学蓬勃发展。看看如何,让我们像以往任何时候一样回到古老的税收实践。

正如我们在几何形状中看到的那样,税收通常是基于现场区域的 – 巴比伦对区域(Eqlum)最初的意思是“田野”。难怪巴比伦管理员必须学习如何解决这种拼图,这是在耶鲁大学收藏中的古代巴比伦平板电脑YBC 6967上提供的:

矩形的面积为60,其长度超过了7。宽度是什么?让我们尝试解决它。如果宽度为x,则长度为x +7。矩形的面积只是宽度乘以长度的宽度,因此该方程式给出了A a:

a = x(x + 7)

这里的括号告诉您将括号内部的每个事物乘以外面的事物,这导致:

a = x2 + 7x

巴比伦人将通过一系列步骤来解决这一问题,以说明代数与几何形状之间的紧密联系。该过程称为“完成广场”。

为了使X2 + BX类型的方程式可管理,您首先将其绘制为几何形状。 X2只是X的正方形。 BX是一个长度x和宽度b的矩形。将该矩形分为两个纵向,然后将一半移至原始正方形的底部,您几乎可以制作一个更大的正方形。为了完成该较大的正方形,您只需要添加一个侧面B/2的小正方形即可。这个小正方形的面积是(b/2)2。因此,您可以看到原始表达式实际上等于(x + b/2)2 – (b/2)2。

给定形式的方程式

x2 + bx = c

巴比伦人将替代建筑广场的结果:

然后,他们将通过此操作并将其全部简化为公式(尽管它不是在现代意义上写成的公式):

答案是宽度为5,长度为12。但是我想知道您是否看起来对您有些熟悉?如果我为您提供对原始方程式的调整,以便您有

AX2 + BX + C = 0

您将使用您在学校学到的公式解决此问题 – 二次公式:

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